李群和李代数

李群#

群是包含运算的集合，对于一个群包含的集合{ $A$ }及其运算{ $\cdot$ }，需要满足以下条件：

封闭性： $\forall a_1, a_2 \in A, a_1 \cdot a_2 \in A$
结合律： $\forall a_1, a_2, a_3 \in A, (a_1 \cdot a_2) \cdot a_3 = a_1 \cdot (a_2 \cdot a_3)$
幺元： $\exist a_0 \in A, s.t. \forall a \in A, a_0 \cdot a = a \cdot a_0 = a$
逆： $\forall a \in A, \exist a^{-1} \in A, s.t. a \cdot a^{-1} = a_0$

对于机器人在空间中的旋转，我们可以用旋转矩阵 $R$ 表示，旋转矩阵 $R$ 属于特殊正交群 $SO(3)$ 。对于 $SO(3)$ 群，满足以下约束：

SO(3) = \{\mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3 \times 3} | \mathbf{R}\mathbf{R}^T = \mathbf{I} | \mathrm{det}(\mathbf{R}) = 1\}

空间中除了旋转以外，还存在平移变换，我们可以使用变换矩阵 $T$ 来表示。变换矩阵 $T$ 属于特殊欧式群 $SE(3)$ ，满足以下约束条件：

SE(3) = \{ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4} | \mathbf{R} \in SO(3), \mathbf{t} \in \mathbb{R}^3 \}

由于旋转矩阵对加法不封闭，即 $\mathbf{R_1} + \mathbf{R_2} \notin SO(3)$ ，由此我们可以引出李代数来对李群进行运算

首先，对于一个与时间相关的旋转矩阵 $\mathbf{R}(t)$ ，有 $\mathbf{R}(t)\mathbf{R}^T(t) = \mathbf{I}$ ，对时间求导，有：

\dot{\mathbf{R}}(t)\mathbf{R}^T(t) + \mathbf{R}(t)\dot{\mathbf{R}}^T(t) = 0

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